Formule d'Al-Kashi

Al-Kashi, ou Ghiyath al-Din Jamshid Kashani, est un mathématicien et astronome persan du XIV^e siècle, né en 1380 à Kashan et mort en 1429 à Samarkand. Il est connu pour ses contributions majeures à l'astronomie et aux mathématiques, notamment son ouvrage Risala a-muhitiyya sur le cercle.

On considère un triangle \(\text{ABC}\) tel que le point \(\text{H}\) est le projeté orthogonal de \(\text{A}\) sur le segment \([\text{BC}]\).

1. Dans le triangle rectangle \(\text{ABH}\), exprimer \(\text{BH}^2\) en fonction de \(\text{AB}\) et de \(\text{AH}\).

2. Dans le triangle rectangle \(\text{ACH}\), exprimer \(\text{CH}^2\) en fonction de \(\text{AC}\) et de \(\text{AH}\).

3. À l'aide d'une identité remarquable, montrer que : \(\text{CH}^2 = \text{BH}^2 + \text{BC}^2 - {2}\times{\text{BH}}\times{\text{BC}}\).

4. En utilisant les questions 1. et 2., déduire l'expression de \(\text{BH}\) en fonction des longueurs des côtés du triangle \(\text{ABC}\).

5. Dans le triangle rectangle \(\text{BAH}\), exprimer \(\cos(\widehat{\text{HBA}})\) en fonction de \(\text{BH}\) et de \(\text{AB}\).

6. En déduire la formule suivante \(\cos(\widehat{\text{ABC}}) = \dfrac{\text{AB}^2+\text{BC}^2-\text{AC}^2}{{2}\times{\text{BC}}\times{\text{AB}}}\).
Cette formule s'appelle la formule d'Al Kashi dans un triangle.

7. On considère ici que le triangle ABC est rectangle en \(\text{B}\), en déduire la valeur de \(\cos(\widehat{\text{ABC}})\).